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Chirp - 啁啾	basic signal	2023-06-30

啁啾（Chirp）是指频率随时间而改变（增加或减少）的信号。其名称来源于这种信号听起来类似鸟鸣的啾声。

Chirp常常被用在sonar, radar, laser systems里。其中，为了能够测量长距离又保留时间的分辨率，雷达需要短时间的派冲波但是又要持续的发射信号，啁啾信号可以同时保留连续信号和脉冲的特性，因此被应用在雷达和声纳探测上。

Definition

瞬时频率 (instantaneous angular frequency)

有一信号，$x(t)=A\sin{(\phi(t))}$，其瞬时角频率为

\omega(t)=\frac{d\phi(t)}{dt}

经适当归一化后得到瞬时频率

f(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d\phi(t)}{dt}

啁啾度

对前两式再求导，得到瞬时角频率的变化速率为瞬时角啁啾度(instantaneous angular chirpyness)

\gamma(t)=\frac{d^2\phi(t)}{dt^2}

类似有瞬时（普通）啁啾度(instantaneous ordinary chirpyness)

c(t)=\frac{1}{2\pi}\gamma(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d^2\phi(t)}{dt^2}

Types

Linear

啁啾的瞬时频率$f(t)$呈线性变化

f(t)=f_0 + ct

c = \frac{f_1-f_0}{T}

c是一个常值

Also，

\phi(t)=\phi_0 + 2\pi \int_{0}^t f(\tau)d\tau =\phi_0 = 2\pi(\frac{c}{2}t^2 + f_0 t)

相位为t的二次函数，从而可以继续推导出信号在time domain：

x(t)=A \cos{(\phi_0 + 2\pi (\frac{c}{2}t^2 + f_0 t))}

这种Linear Chirp信号也被称为二次相位讯号(quadratic-phase signal)

Exponential

Exponential chirp，也叫geometric chirp，瞬时频率以指数变化，即$f(t_2)/f(t_1)$会是常数

signal frequency:

f(t)=f_0 k^t

k = (\frac{f(T)}{f_0})^{\frac{1}{T}} = \text{constant}

相位:

\phi(t)=\phi_0 + 2\pi\int_0^t f(\tau)d\tau = \phi_0 + 2\pi f_0 (\frac{k^t - 1}{\ln(k)})

time-domain:

x(t) = \sin{[\phi_0 + 2\pi f_0(\frac{k^t - 1}{\ln(k)})]}

Hyperbolic

双曲线线性调频用于雷达应用，因为它们在被多普勒效应(Doppler Effect)扭曲后显示出最大的匹配滤波器(Matched filter)响应。

signal frequency:

f(t) = \frac{f_0 f_1 T}{(f_0 - f_1)t + f_1T}

Phase:

\phi(t) = \phi_0 + 2\pi \int_0^t f(\tau)d\tau = \phi_0 + 2\pi \frac{-f_0f_1 T}{f_1 - f_0}\ln(1 - \frac{f_1-f_0}{f_1 T}t)

time-domain:

x(t) = \sin{[\phi_0 + 2\pi \frac{-f_0f_1 T}{f_1 - f_0}\ln(1 - \frac{f_1-f_0}{f_1 T}t)]}