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title: What's Stationary mean in Signal?
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tags:
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- signal
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- signal-processing
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date: 2024-04-17
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平稳描述的是信号的**统计特性不随时间变化**的特性。平稳性是许多信号处理算法和理论分析的基础假设，特别是在随机过程和时间序列分析中。
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一个平稳信号需要满足两个主要条件：
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1. **均值的平稳性**：信号的统计平均值（均值）不随时间变化。换句话说，无论我们何时观察信号，其平均值都保持不变。对于连续时间信号，这意味着信号的平均值对于所有时间点都是恒定的；对于离散时间信号，这意味着信号的平均值对于所有时间步长都是恒定的。
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\mu_x(n) = \mu_x
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均值与n无关，即于哪次观察信号无关
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2. **自相关函数的平稳性**：信号的自相关函数仅取决于时间间隔，而不是绝对的时间点。自相关函数是衡量信号在不同时间点的相似性的一种方法。对于平稳信号，如果我们将信号在时间点t和时间点t+τ的值进行比较，这种比较的结果（即自相关）只与时间间隔τ有关，而与具体的时间点t无关。
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R_x(n,n+m) = R_x(m)
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自相关函数与时间n无关，之与时移m有关
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平稳信号具有Ergodicity，即各态历经，即多样本**集合平均**和单一样本**时间平均**相同
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\mu_x=E\{x(n)\}=\lim_{M\rightarrow\infty}\frac{1}{2M+1}\sum_{n=-M}^Mx(n)
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R_x(m)=E\{x(n)x(n+m)\}=\lim_{M\rightarrow\infty}\frac{1}{2M+1}\sum_{n=-M}^M x(n)x(n+m)
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在实际应用中，完全平稳的信号是非常罕见的。大多数实际信号都是非平稳的，它们的统计特性（如均值、方差、自相关等）会随时间变化。然而，有些信号可以**在一定的时间范围内近似为平稳**，这种信号被称为“**宽平稳**”（**Wide-Sense Stationary, WSS**）信号。宽平稳信号的统计特性在观察的时间范围内大致保持不变，这使得它们可以用线性时不变系统进行有效分析。
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平稳信号的概念对于信号处理和系统分析非常重要，因为许多信号处理技术，如**傅里叶变换**、**功率谱密度分析**、**滤波器设计**等，都是基于信号的平稳性假设。如果一个信号不是平稳的，那么在应用这些技术之前，我们可能需要对信号进行预处理，如去趋势、差分、归一化等，以使其满足平稳性的要求，或者使用专门为非平稳信号设计的分析方法，如**非平稳时间序列分析**、**小波变换**、**经验模态分解**等。 |