离散系统稳定性判别（因果系统）

时域充要条件


\sum_{k=-\infty}^{\infty} |h(k)| < \infty

绝对可和

$H(z)$收敛域包含单位圆 \leftrightarrow |P_j| < 1 极点都在单位圆内

Tip

Z域的充要条件表明了在时域上，随着时间，时域信号是衰减的，因此绝对可和


ROC = \{z:|\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}| < \infty\}

ROC是指Z变换的求和收敛的复平面上的点集。

x[n]={0.5}^n\mu[n], 则


\mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}=\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{0.5}{z})^n = \frac{1}{1-0.5z^{-1}}

最后一个等式来自无穷几何级数，而等式仅在 |0.5z^{−1}| < 1 时成立，可以以 z 为变量写成 $|z| > 0.5$。因此，收敛域为 $|z| > 0.5$。在这种情况下，收敛域为复平面“挖掉”原点为中心的半径为 0.5 的圆盘。